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▶ 자연과학/▷ 전국 대학생 수학경시대회

【대수경】 제 36회 전국 대학생 수학 경시대회 제 2 분야 제 36회 전국 대학생 수학 경시대회 제 2 분야 추천글 : 【전국 대학생 수학경시대회】 전국 대학생 수학경시대회 풀이 모음  제 36회 전국 대학생 수학경시대회제 2 분야 2017년 (10:00 - 13:00) 1. 차수가 3 이하인 모든 실계수 다항식으로 이루어진 실벡터공간을 V라 하고 선형사상 T : V → V를 다음과 같이 정의한다. T(P(x)) = x4P(x)를 (x-1)2(x+1)2으로 나눈 나머지 이때, T의 특성다항식을 구하여라.  Solution. 추후 업데이트  2. 다음 미분방정식의 해 u(t)를 구하여라.   Solution.    3. 양의 정수 n에 대하여 n × n 실행렬 A가 An+1 = O을 만족하면 An = O임을 보여라. (단, O는 영행렬이다.)   Solution...
【대수경】 제 36회 전국 대학생 수학 경시대회 제 1 분야 제 36회 전국 대학생 수학 경시대회 제 1 분야 추천글 : 【전국 대학생 수학경시대회】 전국 대학생 수학경시대회 풀이 모음  제 36회 전국 대학생 수학경시대회제 1 분야 2017년 (10:00 - 13:00) 1. 집합 S = {1, 2, ···, 2017}의 원소들은 성분으로 가지는 모든 n × n 행렬들의 집합을 T라고 하자. 다음 값을 계산하여라. (단, n은 2 이상의 양의 정수이다.)   Solution. 치환과 행렬식의 정의를 이해하자.   2. 임의의 실계수 다항식 f(x, y)는 (x + ay)k 꼴의 다항식들의 실계수 일차결합으로 표현됨을 보여라. (단, a는 임의의 실수, k는 0 이상의 정수이다.)  Solution. 이 문제는 임의의 2변수 실계수 다항식 f(x, y)에 대하여,..
【대수경】 제 37회 전국 대학생 수학 경시대회 제 2 분야 제 37회 전국 대학생 수학 경시대회 제 2 분야 추천글 : 【전국 대학생 수학경시대회】 전국 대학생 수학경시대회 풀이 모음  제 37회 전국 대학생 수학경시대회제 2 분야 2018년 11월 17일 (10:00 - 13:00) 1. 좌표평면 위의 두 직선 y = (1 - h)x와 y = (1 + h)x 사이의 각을 θ(h)라 하자. (단, θ(h) ∈ [0, π/2].) 극한 limh→0+ θ(h)/h 의 값을 구하여라.  Solution. v1 = (1, 1-h), v2 = (1, 1+h)로 두면 cos θ(h)는 다음과 같다.  따라서 로피탈 정리(L'Hospital's theorem)에 의해 준식을 다음과 같이 나타낼 수 있다.   2. 다음 미분방정식의 해를 구하여라.   Solution.    ..
【대수경】 제 37회 전국 대학생 수학 경시대회 제 1 분야 제 37회 전국 대학생 수학 경시대회 제 1 분야 추천글 : 【전국 대학생 수학경시대회】 전국 대학생 수학경시대회 풀이 모음  제 37회 전국 대학생 수학경시대회제 1 분야 2018년 11월 17일 (10:00 - 13:00) 1. 벡터 u = (1/3, 1/3, 1/3) ∈ ℝ3에 대하여   로 정의할 때, 급수 ∑n=1 to ∞ (3, 2, 1)·v2n의 값을 구하여라.  Solution. v2n의 일반항을 다음과 같이 찾을 수 있다.  따라서 (준식)은 다음과 같다.   2. 양의 정수 n에 대하여 n × n 실행렬 A는 tr(A) = 2018을 만족한다. 이때, rank(A) = 1이면 A2 = 2018A임을 보여라.   Solution. 특수한 경우에서 케일리-해밀턴 정리(Cayley-Hamil..
【대수경】 제 38회 전국 대학생 수학 경시대회 제 2 분야 제 38회 전국 대학생 수학 경시대회 제 2 분야 추천글 : 【전국 대학생 수학경시대회】 전국 대학생 수학경시대회 풀이 모음  제 38회 전국 대학생 수학경시대회제 2 분야 2019년 11월 9일 (10:00 - 13:00) 1. 다음 극한값을 구하여라.   Solution.    2. 다음 미분방정식의 해를 구하여라.   Solution. 우선 x(t)와 y(t)의 관계를 쉽게 구할 수 있다. (공식 풀이는 x(t)가 잘못 기술되어 있다.)  따라서 주어진 미분방정식의 해는 다음과 같다.   3. 영역 W = {(x, y, z) ∈ ℝ3 : x2 + y2 ≤ 1, |z| ≤ 1}에서 두 벡터장 F와 G가 다음과 같이 주어져 있다.  F(x, y, z) = (sin xy, sin yz, 0), G(x, ..
【대수경】 제 38회 전국 대학생 수학 경시대회 제 1 분야 제 38회 전국 대학생 수학 경시대회 제 1 분야 추천글 : 【전국 대학생 수학경시대회】 전국 대학생 수학경시대회 풀이 모음  제 38회 전국 대학생 수학경시대회제 1 분야 2019년 11월 9일 (10:00 - 13:00) 1. 다음 행렬 A에 대하여 rank(A)를 구하여라.   Solution. det(A) = 0이므로 rank(A)   한편,  이므로 (2019, 2020, 2021)T와 (2020, 2021, 2022)T는 일차독립이다.그러므로, rank(A) ≥ 2이다.따라서 rank(A) = 2이다.  2. 행렬 A와 B가 다음과 같이 주어져 있다.  이 때, 입체 V = {x ∈ ℝ3 : x · Ax ≤ 1 x · Bx }의 부피를 구하여라.   Solution. 이차형식을 풀어쓰면, x ..
【대수경】 제 42회 전국 대학생 수학 경시대회 제 2 분야 제 42회 전국 대학생 수학 경시대회 제 2 분야 추천글 : 【전국 대학생 수학경시대회】 전국 대학생 수학경시대회 풀이 모음  제 42회 전국 대학생 수학경시대회제 2 분야 2024년 11월 2일 (10:30 - 13:00) 1. 다음 행렬 A에 대하여 등식 A5 = aA2 + bA + cI가 성립하도록 하는 실수 a, b, c를 구하여라. (단, I는 3 × 3 단위행렬)   Solution. 다음 식을 발견할 수 있다.  ∴ A5 = A2 × (-3A) = (-3)2 A이므로 a = 0, b = 9, c = 0 참고로, 공식 풀이에서는 대응되는 문제가 아닌 제1분야 2번 문제 풀이를 제시하고 있으므로 유의해야 한다.  2. 다음 미분방정식의 해 y(x)를 구하여라.    Solution. u = x ..
【대수경】 제 42회 전국 대학생 수학 경시대회 제 1 분야 제 42회 전국 대학생 수학 경시대회 제 1 분야 추천글 : 【전국 대학생 수학경시대회】 전국 대학생 수학경시대회 풀이 모음  제 42회 전국 대학생 수학경시대회제 1 분야 2024년 11월 2일 (10:30 - 13:00) 1. 다음 행렬 A에 대하여 등식 A5 = aA2 + bA + cI가 성립하도록 하는 실수 a, b, c를 구하여라. (단, I는 3 × 3 단위행렬)   Solution. 다음 식을 발견할 수 있다.  ∴ A5 = A2 × (-3A) = (-3)2 A이므로 a = 0, b = 9, c = 0  2. 3차원 좌표공간에서 식 4z2 = x2 + y2 - 1로 주어진 곡면을 S라 하자. 곡면 S가 점 P(1, 2, 1)을 지나는 직선을 정확히 두 개 포함하고 있음을 보이고, 두 직선이 ..

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